ECOLE NATIONALE                                                     2006/2007

DES SCIENCES DE L'INFORMATIQUE

 

Examen Files d'Attente

Classe : I.I.1                                                                                                   28 Mai 2007

Documents non autorisés                                                                        Durée : 2 heures

Enseignantg : M. BELLALOUNA, L.HIDRI et M.TAGINA         Nombre de pages : 3.

 

 

 

Exercice 1

On considère un système M/M/1/1 où les arrivées se font selon un processus de Poisson de taux A. Les temps de service sont mutuellement indépendants et suivent une loi exponentielle de moyenne ^1/µ.

1.   Déterminer l'expression des probabilités en régime stationnaire.(lpoint)

2.   Calculer N le nombre moyen de client le nombre moyen de clients dans le système. Calculer le nombre moyen de clients en attente N_q.  Calculer la durée moyenne de séjour T et la durée moyenne d'attente dans la file W en fonction de de λ, µ.( lpoint)

Exercice 2

On considère une file M/E₂/1 où les arrivées se font selon un processus de Poisson de taux A. Les temps de service sont mutuellement indépendants et suivent une loi

d'Erlang d'ordre 2 (chacune des étapes est une exponentielle de moyenne ^1/2µ

 

1.    Etablir le diagramme de taux de transition.( lpoint)

2.    Etablir les équations de Chapman Kolmogorov en équilibre (les équations de balance).( lpoint)

3.    Calculer la transformée en z de ce système.( lpoint)

4.      Déterminer l'expression des probabilités en régime stationnaire.( lpoint)

5.      Donner la condition d'ergodicité.( lpoint)

6. Déterminer l'expression des probabilités d'avoir n clients dans le système en régime stationnaire.( lpoint)

Exercice 3

1.     Donner la définition d'un Processus de Naissance et de Mort.( lpoint)

2.     Donner l'expression des probabilités en régime stationnaire ((p_j) jЄIN d'un Processus de Naissance et de Mort.( lpoint)

3. Soit un service de reproduction louant K photocopieurs identiques. Ces pho­tocopieurs sont tous utilisés lorsqu'ils sont en état de marche et, en cas de panne, un réparateur est appelé, toujours le même. Chaque photocopieur, lorsqu'il fonctionne, a un taux de panne À, l'occurrence de ces pannes suit un processus de Poisson et ceci, indépendamment des autres photocopieurs. Les durées de réparation, sont des variables aléatoires, indépendantes, distribuées suivant une loi exponentielle de moyenne ¹.

1.‘

(a)         Montrer que la somme de deux processus de Poisson est un processus de Poisson.            

(b)         Déterminer le taux d'entrée A_i sachant que le système se trouve à l'état j (en fonction de λ, K).( lpoint)

(c) Déduire une modélisation de ce système.( lpoint)

Exercice 4

On considère un système M/M/2 où les arrivées se font selon un processus de Poissons de taux À, avec deux serveurs de taux de service différents µ₁, µ₂. On suppose qu'un client arrivant à un instant où la longueur du système est nulle choisit le serveur 1 avec une probabilité a et le serveur 2 sinon.

1.   Etablir le diagramme de taux de transition (pour 0, j > 2 ).( lpoint)

2.   Etablir les équations de Chapman-Kolmogarov.( lpoint)

Exercice 5

Chez la boulangerie " le client est roi ", le client a la possibilité de choisir les ingrédients de son pain et de l'attendre cuire. Chaque client, en arrivant au présentoir peut apprécier les ingrédients disponibles auquel cas procède au choix des ingrédients. Une fois ce choix réalisé, et

peut pas avancer au présentoir tant que le client qui le précède n'est pas sorti de la boulangerie.

De plus, vu que le service dans cette boulangerie dure assez longtemps, si un client arrive et trouve deux clients dans la boulangerie, il repart.

L'affluence à la boulangerie suit une loi de Poisson à raison de 15 clients par heure en moyenne. Les durées de choix d'ingrédients et de cuisson suivent des distributions exponentielles de durées moyennes respectives 2min et 5min.

De plus la probabilité qu'un client procède au choix des ingrédients est de 2/3 et celle qu'il attende la cuisson est de 1/2.

1.     Donner la notation de Kendall de ce système. (1 point)

2.     Construire son graphe des taux.( 2 points)

3.     Ecrire les équations d'équilibre (ou équation de balance).(1 point)

4.     Calculer le nombre moyen de clients dans le système et la durée moyenne de séjour (sans développer les calculs).(1 point)

5.     Calculer le nombre moyen de clients qui trouvent la boulangerie pleine et repartent en une heure (sans développer les calculs).(1 point)

6.     Calculer le taux moyen de sortie de cette boulangerie (le nombre moyen de clients qui quittent la boulangerie par unité de temps).(1 point)