École Nationale des Sciences 2005/2006
De l'informatique
Examen de rattrapage
Matière : files d'attente Date: 14 /06/06
Enseignants : Mme L.Azouz Saïdane; Mr M. Tagina;
Mme M. Bellalouna Maghrebi; Mr L. Hidri Durée: 2h00
Classe : II1 Documents non autorisés
EXERCICE I :_(7 pts)
Considérons un atelier de réparation de bus. Les bus arrivent selon un processus de Poisson de paramètre X, le temps nécessaire à une intervention suit la loi exponentielle de paramètre p.
1. (1 pt) Il existe un seul technicien et K places disponibles. Par quelle station de file d'attente peut on modéliser ce système ? Donner le processus de naissance et de mort représentant cette station.
2. (1 pt) Développer les calculs nécessaires pour déterminer la probabilité pour qu'un bus arrivant ne soit pas accepté (faute de place).
3. (1 pt) Donner l'expression du temps moyen de séjour d'un bus dans cet atelier (ne pas développer les calculs).
4. (1 pt) Donner le taux de départ de cette station, en régime d'équilibre.
5. Le directeur décide de porter le nombre de techniciens (de mêmes compétences) à 2 et de louer l'espace nécessaire afin d'accepter tout bus arrivant.
a) (1 pt) Par quelle station de file d'attente peut on modéliser ce système ? Préciser la condition d'ergodicité.
11) (1 pt) Dresser le diagramme des taux de transition.
c) (1 pt) Déterminer la probabilité d'avoir n bus dans le système en régime d'équilibre.
EXERCICE II : (6 pts)
On s'intéresse à un modèle de guichet de vente de tickets au niveau du théatre municipal de la ville de Tunis, où les groupes de clients a.-rivent selon un processus de pois;on de paramètre X. Les gens arrivent soit individuellement (1 seule personne) avec une probabilité 1/3, soit en couple (2 personnes) avec la probabilité 2/3. Ils entrent alors dans la station de file d'attente où il y a un serveur exponentiel de paramètre p..
1) (1 pt) Dresser le diagramme des taux de transitions.
2) (1 pt) Ecrire les équations de balance.
3) (1 pt) Calculer P(z), la transformée en z des probabilités d'état d'équilibre de ce système en fonction de X, de p. et de Po (probabilité d'avoir un système vide).
4) (1 pt) Déterminer Po et le facteur d'utilisation de ce système.
5) (1 pt) Donner le nombre moyen de clients dans la station.
6) (1 pt) En déduire le temps moyen que passe un client au niveau de ce système.
EXERCICE III : (3 pts)
Soit la station M/H2/1.
1) (1 pt) Donner la variable aléatoire état de la station.
2) (1 pt) Dresser le diagramme des taux de transition.
EXERCICE IV : (4 pts)
On se propose d'étudier la technique Complete Sharing de partage de buffers au niveau d'un noeud de commutation. Le noeud est supposé avoir 2 canaux d'entrée et 2 canaux de sortie, et une capacité B de stockage (B = nombre total de buffers pour le stockage des paquets). Les paquets arrivant au noeud sont tout d'abord soumis à la décision de routage qui les affecte à un canal de sortie. Ainsi on a 2 classes de paquets ; les paquets de la classe r sont destinés à être servis par le canal de sortie n° r ; r = 1, 2. On suppose que le temps nécessaire pour prendre la décision de routage est négligeable (nul). Le temps de service des paquets est exponentiel de paramètre gr pour la classe r, et correspond au temps nécessaire pour injecter le paquet, sur le canal r. Les arrivées suivent des lois de poisson de paramètre Xr pour la classe r.
La variable aléatoire décrivant l'état du système est le vecteur (nl, n2), où nr représente le nombre de paquets de la cluse r au niveau de ce nœud ; r = 1, 2.
1) (1 pt) Montrer qu'on est en présence d'un processus de naissance et de mort.
(2 pts) Dresser le diagramme des taux relatif à cette variable 'état. 3) (1 pt) Indiquer comment déterminer la probabilité de rejet d'un paquet