Ecole Nationale des Sciences                                                                  2005/2006

de l'informatique

Examen

Matière : files d'attente                                                               Date: 20/05/06

Enseignants : Mme^.L.Azoiaz Saïdane; Mr M. Tagina;                 Durée: 2h00

Mme M_ Bellalouna Maghrebi; Mr L. Hidri                                Documents non autorisés

Classe II1

EXERCICE I : (5 pts)

Soit la station  M/M/m/m

1) (1 pt) Modéliser cette station par un processus de naissance et de mort.

2)        (1 pt) Dresser le diagramme des taux relatif à cette variable d'état.

3)        (1 pt) Déterminer les probabilités d'état d'équilibre de ce système en fonction de Po (probabilité d'avoir un système vide).

4)        (1 pt) Expliciter P_o et la condition d'ergodicité de ce système.

5)        (1 pt) Donner le temps moyen de séjour et en déduire le nombre moyen de clients dans la station.

EXERCICE : (6 pts)

On s'intéresse à un modèle de guichet de vente de tickets au niveau du théatre municipal de la ville de Tunis, où les groupes de clients arrivent selon un processus de poisson de paramètre λ. Les gens arrivent soit individuellement (1 seule personne) avec une probabilité 1/3, soit en couple (2 personnes) avec la probabilité 2/3. Ils entrent alors dans la si al ion de file d'attente où il y a un serveur exponentiel de paramètre µ.

1)

(1pt) Dresser le diagramme des taux de transitions. 2) (1 pt) Ecrire les équations de balance. 3)(1 pt) Calculer P(z), la transformée en z des probabilités d'état d'équilibre de ce système en fonction de λ, de µ et de Po (probabilité d'avoir un système vide). 4) (1 pt) Déterminer Po et le facteur d'utilisation de ce système. 5) (1 pt) Donner nombre moyen de clients dans la station. 6) (1 pt) En déduire le temps moyen que passe un client au niveau de ce système.

EX ERCICE III : (3 pts)

On considère la station M/Cox₂/1/2.

1)        (2 pt) Dresser le diagramme des taux de transitions.

2)        (1 pt) Donner le taux de départ de cette station.

EXERCICE 1V : (6 pts)

On se propose d'étudier le fonctionnement d'une imprimante située dans une salle fermée à clef. Cette imprimante ne peut traiter qu'une demande à la fois (capacité du système limitée à 1). Les demandes d'impression arrivent selon un processus de Poisson de paramètre X. Cette imprimante peut tomber en panne. La durée de son fonctionnement (durée séparant sa remise en fonctionnement et la panne suivante) suit une loi exponentielle de paramètre p.. Après sa réparation elle passe directement à l'état « repos » et l'impression qui était en cours est annulée.

Etant à l'état repos, quand une demande d'impression arrive, l'imprimante pourra être

dans l'un des états suivants :

·           Etat 1 : en fonctionnement mais sans papier avec la probabilité a, .

·           Etat 2 : en fonctionnement normal (avec papier) mais la porte est bloquée, avec la

probabilité α₂

·           Etat 3 en fonctionnement normal avec la probabilité a₃ .

les états repos et panne seront notés

·           Etat 0 : repos (en fonctionnement mais aucune demande d'impression)

·            Etat 4 : panne.

La durée d'impression lorsque l'imprimante est à l'état i, suit une loi exponentielle de paramètre µ_i(i 1, 2, 3). La durée de réparation de cette imprimante suit une loi exponentielle de paramètre µ₄

1) (2 pts) Dresser le diagramme des taux relatif à ce système.

2)     (1 pt) Donner le système d'équations permettant de déterminer les probabilités d'état d'équilibre.

3)         (1 pt) Sans résoudre le système précédent, déterminer le nombre moyen de requête en impression.

4)         (1 pt) En déduire le temps moyen de réponse de cette imprimante (temps moyen de séjour d'un client. dans la station).

5)           (1 pt) Soit X la variable aléatoire représentant le temps d'impression lorsque l'imprimante n'est pas en panne (temps moyen de service d'un client).

a)     Donner le temps moyen d'impression.

b)     Donner la densité du temps d'impression et sa transformée de Laplace.