Université de la Manouba                                                                                                             A. U.

2005/2006

Ecole Supérieure de Commerce de Tunis

Econométrie
(Session principale — mai 2006)

Niveau 3 ème CIN

Nombre des pages : 2.

Durée : 2 heures

Exercice 1 (15 points)

Soit le tableau des données suivantes :

X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

6

5

4

3

2

1

On considère le modèle suivant :

Y = α.e+ βX +u                        (modèle 1)

Où e désigne le vecteur unitaire, et u un terme aléatoire vérifiant les hypothèses des moindres carrés ordinaires (MCO).

1)     Estimer a et )3 par la technique des MCO.

2)     Quel serait l'effet sur les paramètres estimés (sans refaire l'estimation) d'une multiplication de la variable X par 2 ?

3)     Calculer : σ2 , σα, σβ, cov (α,,β-) , R 2 et R 2

4)     Tester au seuil de 5% la significativité des estimateurs, sachant que le ratio de Student théorique est égal à 2.77.

5)     Le modèle estimé est-il significatif dans son ensemble ? Le ratio de Fisher théorique étant égal à 7.71.

6)     Donner une prévision de la valeur de Y sachant que la valeur prévisible de X est égale à 4 Associer à cette prévision tin intervalle de confiance de niveau
95%.

7)     Vérifier que e et X sont orthogonaux (leur produit scalaire étant égal à zéro).

8)     Montrer alors que l'on peut estimer (x el /1 séparément par les deux

régressions suivantes:

Y = a.e +u1                 (modèle 2)

Y = β.x +u2                  (modèle 3)

9) Montrer que SCR1 = SCR2 + SCR3, - Y’ Y .

Où : SCR1: Somme des carrés des résidus du modèle 1.

SCR2 : Somme des carrés des résidus du modèle 2.

SCR3: Somme des carrés des résidus du modèle 3.

10)    Calculer SCR1 SCR2 et SCR3. Vérifier l'égalité démontrée à la 7èmequestion.

11)    Soient Dl et D2 deux -variables indicatrices. Dl vaut 1 si Y est supérieure strictement à 5 et zéro sinon. D2 prend une valeur égale à 1 lorsque Y est. inférieure ou égale à 5 et zéro dans le cas contraire.

a)         Ecrire la matrice des variables explicatives : (e, X, Dl, D2).

Les résultats de trois ajustements intégrant les variables indicatrices se

Y = 3.4535 — 0.7558.X+0.27.91D1

(0.1130) (0.0581) (0.337)

Y = 3.7326 —0.7558X — 0.2791D2

•

(0.2976) (0.0581) (0.337)

Y = —0.7558.X + 3.7326.D1 + 3.4535.D2

•

(0.05810) (0.29750) (0.11330)

Les chiffres entre parenthèses désignent les écarts-types.

Analyser le signe et l'ordre de grandeur des coefficients associés aux variables indicatrices.

c) Tester au seuil de 5% l'homogénéité des coefficients des variables Dl et D2. Le t de Student théorique étant égal à 3.182

Exercice 2 (5 points)

Soit le modèle suivant : Y1 = a + β.Xt +ut ; t = 1, 2, 3 .;       ut = put-1εt +

εt :  respecte toutes les hypothèses exigées par la méthode des M.C.O.

1)                  Ecrire la matrice de variance covariance des résidus Q .

2)                  Construire la matrice de transformation P.

3) Montrer que p’p=Ω -1